Une primitive d'une fonction

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) .
On considère l'équation différentielle \(y'=f\) .
Les solutions, sur \(I\) , de cette équation différentielle sont appelées les primitives de \(f\) sur \(I\) .
Ainsi, une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction définie et dérivable sur \(I\) et telle que, pour tout réel \(x\) de \(I\) , on a   \(F'(x) = f (x)\) .

Théorème (admis)

Toute fonction continue sur un intervalle  \(I\) admet des primitives sur cet intervalle.

Remarque  

Ce théorème assure l'existence de primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Cependant, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue.
Par exemple, la fonction \(x\mapsto \text e^{x^2}\) est continue sur  \(\mathbb R\) comme composée de fonctions continues sur  \(\mathbb R\) ; elle admet donc des primitives sur  \(\mathbb R\) . Mais on ne peut pas écrire ses primitives à l'aide de fonctions usuelles.